Найти ранг матрицы: способы и примеры. Понятие о ранге матрицы Найти ранг матрицы с а2 2а 4е

Строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы - наивысший из порядков всевозможных ненулевых миноров этой матрицы. Ранг нулевой матрицы любого размера ноль. Если все миноры второго порядка равны нулю, то ранг равен единице, и т.д.

Ранг матрицы - размерность образа dim ⁡ (im ⁡ (A)) {\displaystyle \dim(\operatorname {im} (A))} линейного оператора , которому соответствует матрица.

Обычно ранг матрицы A {\displaystyle A} обозначается rang ⁡ A {\displaystyle \operatorname {rang} A} , r ⁡ A {\displaystyle \operatorname {r} A} , rg ⁡ A {\displaystyle \operatorname {rg} A} или rank ⁡ A {\displaystyle \operatorname {rank} A} . Последний вариант свойственен для английского языка, в то время как первые два - для немецкого, французского и ряда других языков.

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Пусть - прямоугольная матрица.

  Тогда по определению рангом матрицы A {\displaystyle A} является:

  Теорема (о корректности определения рангов). Пусть все миноры матрицы A m × n {\displaystyle A_{m\times n}} порядка k {\displaystyle k} равны нулю ( M k = 0 {\displaystyle M_{k}=0} ). Тогда ∀ M k + 1 = 0 {\displaystyle \forall M_{k+1}=0} , если они существуют.

  Связанные определения

  Свойства

  • Теорема (о базисном миноре): Пусть r = rang ⁡ A , M r {\displaystyle r=\operatorname {rang} A,M_{r}} - базисный минор матрицы A {\displaystyle A} , тогда:
  • Следствия:
  • Теорема (об инвариантности ранга при элементарных преобразованиях): Введём обозначение для матриц, полученных друг из друга элементарными преобразованиями . Тогда справедливо утверждение: Если A ∼ B {\displaystyle A\sim B} , то их ранги равны.
  • Теорема Кронекера - Капелли : Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:
    • Количество главных переменных системы равно рангу системы.
    • Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.
  • Неравенство Сильвестра : Если A и B матрицы размеров m x n и n x k , то
  rang ⁡ A B ≥ rang ⁡ A + rang ⁡ B − n {\displaystyle \operatorname {rang} AB\geq \operatorname {rang} A+\operatorname {rang} B-n}

  Это частный случай следующего неравенства.

  • Неравенство Фробениуса : Если AB, BC, ABC корректно определены, то
  rang ⁡ A B C ≥ rang ⁡ A B + rang ⁡ B C − rang ⁡ B {\displaystyle \operatorname {rang} ABC\geq \operatorname {rang} AB+\operatorname {rang} BC-\operatorname {rang} B}

  Линейное преобразование и ранг матрицы

  Пусть A {\displaystyle A} - матрица размера m × n {\displaystyle m\times n} над полем C {\displaystyle C} (или R {\displaystyle R} ). Пусть T {\displaystyle T} - линейное преобразование, соответствующее A {\displaystyle A} в стандартном базисе; это значит, что T (x) = A x {\displaystyle T(x)=Ax} . Ранг матрицы A {\displaystyle A} - это размерность области значений преобразования T {\displaystyle T} .

  Методы

  Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

  • Метод элементарных преобразований
  Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.
  • Метод окаймляющих миноров
  Пусть в матрице A {\displaystyle A} найден ненулевой минор k {\displaystyle k} -го порядка M {\displaystyle M} . Рассмотрим все миноры (k + 1) {\displaystyle (k+1)} -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор M {\displaystyle M} ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен k {\displaystyle k} . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

  Любая матрица A порядка m×n можно рассматривать как совокупность m векторов строк или n векторов столбцов .

  Рангом матрицы A порядка m×n называется максимальное количество линейно независимых векторов столбцов или векторов строк.

  Если ранг матрицы A равен r , то пишется:

  Нахождение ранга матрицы

  Пусть A произвольная матрица порядка m ×n . Для нахождения ранга матрицы A применим к ней метод исключения Гаусса.

  Отметим, что если на каком-то этапе исключения ведущий элемент окажется равным нулю, то меняем местами данную строку со строкой, в котором ведущий элемент отличен от нуля. Если окажется, что нет такой строки, то переходим к следующему столбцу и т.д.

  После прямого хода исключения Гаусса получим матрицу, элементы которой под главной диагональю равны нулю. Кроме этого могут оказаться нулевые векторы строки.

  Количество ненулевых векторов строк и будет рангом матрицы A .

  Рассмотрим все это на простых примерах.

  Пример 1.

  Умножив первую строку на 4 и прибавив ко второй строке и умножив первую строку на 2 и прибавив к третьей строке имеем:

  

  Вторую строку умножим на -1 и прибавим к третьей строке:

  

  Получили две ненулевые строки и, следовательно ранг матрицы равен 2.

  Пример 2.

  Найдем ранг следующей матрицы:

  

  Умножим первую строку на -2 и прибавим ко второй строке. Аналогично обнулим элементы третьей и четвертой строки первого столбца:

  

  Обнулим элементы третьей и четвертой строк второго столбца прибавляя соответствующие строки ко второй строке умноженной на число -1.

  Рангом матрицы называется наибольший порядок ее миноров, отличных от нуля. Ранг матрицы обозначают или .

  Если все миноры порядка данной матрицы равны нулю, то все миноры более высокого порядка данной матрицы также равны нулю. Это следует из определения определителя. Отсюда вытекает алгоритм нахождения ранга матрицы.

  Если все миноры первого порядка (элементы матрицы ) равны нулю, то . Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны нулю, то . Причем, достаточно просмотреть только те миноры второго порядка, которые окаймляют ненулевой минор первого порядка. Если найдется минор второго порядка отличный от нуля, исследуют миноры третьего порядка, окаймляющие ненулевой минор второго порядка. Так продолжают до тех пор, пока не придут к одному из двух случаев: либо все миноры порядка , окаймляющие ненулевой минор -го порядка равны нулю, либо таких миноров нет. Тогда .

  Пример 10. Вычислить ранг матрицы .

  Минор первого порядка (элемент ) отличен от нуля. Окаймляющий его минор тоже не равен нулю.

  Все эти миноры равны нулю, значит .

  Приведенный алгоритм нахождения ранга матрицы не всегда удобен, поскольку связан с вычислением большого числа определителей. Наиболее удобно пользоваться при вычислении ранга матрицы элементарными преобразованиями, при помощи которых матрица приводится к столь простому виду, что очевидно, чему равен ее ранг.

  Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  Ø умножение какой-нибудь строки (столбца) матрица на число, отличное от нуля;

  Ø прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на произвольное число.

  Полужордановым преобразованием строк матрицы:

  с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со строками матрицы:

  Ø к первой строке прибавить ю, умноженную на число и т.д.;

  Ø к последней строке прибавить ю, умноженную на число .

  Полужордановым преобразованием столбцов матрицы с разрешающим элементом называется следующая совокупность преобразований со столбцами матрицы:

  Ø к первму столбцу прибавить й, умноженный на число и т.д.;

  Ø к последнему столбцу прибавить й, умноженный на число .

  После выполнения этих преобразований получается матрица:

  Полужорданово преобразование строк или столбцов квадратной матрицы не изменяет ее определителя.

  Элементарные преобразования матрицы не изменяют ее ранга. Покажем на пример, как вычислить ранг матрицы, пользуясь элементарными преобразованиями. строк (столбцов) линейно зависимы.

  Ранее для квадратной матрицы -го порядка было введено понятие минора
  элемента. Напомним, что так был назван определитель порядка
  , полученный из определителя
  вычеркиванием-й строки и-го столбца.

  Введем теперь общее понятие минора. Рассмотрим некоторую, не обязательно квадратную матрицу . Выберем какие-нибудьномеров строк
  иномеров столбцов
  .

  Определение . Минором порядка матрицы (соответствующим выбранным строкам и столбцам) называется определитель порядка, образованный элементами, стоящими на пересечении выбранных строк и столбцов, т.е. число

  .

  Каждая матрица имеет столько миноров данного порядка , сколькими способами можно выбрать номера строк
  и столбцов
  .

  Определение . В матрице размеров
  минор порядканазываетсябазисным , если он отличен от нуля, а все миноры порядка
  равны нулю или миноров порядка
  у матрицывообще нет.

  Ясно, что в матрице может быть несколько разных базисных миноров, но все базисные миноры имеют один и тот же порядок. Действительно, если все миноры порядка
  равны нулю, то равны нулю и все миноры порядка
  , а, следовательно, и всех бόльших порядков.

  Определение . Рангом матрицы называется порядок базисного минора, или, иначе, самый большой порядок, для которого существуют отличные от нуля миноры. Если все элементы матрицы равны нулю, то ранг такой матрицы, по определению, считают нулем.

  Ранг матрицы будем обозначать символом
  . Из определения ранга следует, что для матрицыразмеров
  справедливо соотношение.

  Два способа вычисления ранга матрицы

  а) Метод окаймляющих миноров

  Пусть в матрице найден минор
  -го порядка, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры
  -го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор
  : если все они равны нулю, то ранг матрицы равен. В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой минор
  -го порядка, и вся процедура повторяется.

  Пример 9 . Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

  

  Выберем минор второго порядка
  . Существует только один минор третьего порядка, окаймляющий выбранный минор
  . Вычислим его.

  

  Значит, минор
  базисный, а ранг матрицы равен его порядку, т.е.
  

  Ясно, что перебирать таким способом миноры в поисках базисного – задача, связанная с большими вычислениями, если размеры матрицы не очень малы. Существует, однако, более простой способ нахождения ранга матрицы – при помощи элементарных преобразований.

  б) Метод элементарных преобразований

  Определение . Элементарными преобразованиями матрицы называют следующие преобразования:

  умножение строки на число, отличное от нуля;

  прибавление к одной строке другой строки;

  перестановку строк;

  такие же преобразования столбцов.

  Преобразования 1 и 2 выполняются поэлементно.

  Комбинируя преобразования первого и второго вида, мы можем к любой строке прибавить линейную комбинацию остальных строк.

  Теорема . Элементарные преобразования не меняют ранга матрицы.

  (Без доказательства)

  Идея практического метода вычисления ранга матрицы

  

  заключается в том, что с помощью элементарных преобразований данную матрицу приводят к виду

  , (5)

  в котором «диагональные» элементы
  отличны от нуля, а элементы, расположенные ниже «диагональных», равны нулю. Условимся называть матрицутакого вида треугольной (иначе, ее называют диагональной, трапециевидной или лестничной). После приведения матрицык треугольному виду можно сразу записать, что
  .

  В самом деле,
  (т.к. элементарные преобразования не меняют ранга). Но у матрицысуществует отличный от нуля минор порядка:

  ,

  а любой минор порядка
  содержит нулевую строку и поэтому равен нулю.

  Сформулируем теперь практическое правило вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований: для нахождения ранга матрицыследует с помощью элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Тогда ранг матрицыбудет равен числу ненулевых строк в полученной матрице.

  Пример 10. Найти ранг матрицы методом элементарных преобразований

  

  Решение.

  Поменяем местами первую и вторую строку (т.к. первый элемент второй строки −1 и с ней будет удобно выполнять преобразования). В результате получим матрицу, эквивалентную данной.

  
  

  Обозначим -тую строку матрицы –. Нам необходимо привести исходную матрицу к треугольному виду. Первую строку будем считать ведущей, она будет участвовать во всех преобразованиях, но сама остается без изменений.

  На первом этапе выполним преобразования, позволяющие получить в первом столбце нули, кроме первого элемента. Для этого из второй строки вычтем первую, умноженную на 2
  , к третьей строке прибавим первую
  , а из третьей вычтем первую, умноженную на 3
  Получаем матрицу, ранг которой совпадает с рангом данной матрицы. Обозначим ее той же буквой:

  .

  Так как нам необходимо привести матрицу к виду (5), вычтем из четвертой строки вторую. При этом имеем:

  .

  Получена матрица треугольного вида, и можно сделать вывод, что
  , т. е. числу ненулевых строк. Коротко решение задачи можно записать следующим образом:

  
  

  Число r называется рангом матрицы A , если:
  1) в матрице A есть минор порядка r , отличный от нуля;
  2) все миноры порядка (r+1) и выше, если они существуют, равны нулю.
  Иначе, ранг матрицы – это наивысший порядок минора, отличного от нуля.
  Обозначения: rangA , r A или r .
  Из определения следует, что r – целое положительное число. Для нуль-матрицы считают ранг равным нулю.

  Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для нахождения ранга матрицы . При этом решение сохраняется в формате Word и Excel . см. пример решения .

  Инструкция . Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.

  Определение . Пусть дана матрица ранга r . Любой минор матрицы, отличный от нуля и имеющий порядок r, называется базисным, а строки и столбцы его составляющие – базисными строками и столбцами.
  Согласно этому определению, матрица A может иметь несколько базисных миноров.

  Ранг единичной матрицы E равен n (количеству строк).

  Пример 1 . Даны две матрицы , и их миноры , . Какой из них можно принять в качестве базисного?
  Решение . Минор M 1 =0, поэтому он не может быть базисным ни для одной из матриц. Минор M 2 =-9≠0 и имеет порядок 2, значит его можно принять в качестве базисного матриц A или / и B при условии, что они имеют ранги, равные 2 . Поскольку detB=0 (как определитель с двумя пропорциональными столбцами), то rangB=2 и M 2 можно взять за базисный минор матрицы B. Ранг матрицы A равен 3, в силу того, что detA=-27≠0 и, следовательно, порядок базисного минора этой матрицы должен равняться 3, то есть M 2 не является базисным для матрицы A . Отметим, что у матрицы A единственный базисный минор, равный определителю матрицы A .

  Теорема (о базисном миноре). Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией ее базисных строк (столбцов).
  Следствия из теоремы.

  1. Всякие (r+1) столбцов (строк) матрицы ранга r линейно зависимы.
  2. Если ранг матрицы меньше числа ее строк (столбцов), то ее строки (столбцы) линейно зависимы. Если rangA равен числу ее строк (столбцов), то строки (столбцы) линейно независимы.
  3. Определитель матрицы A равен нулю тогда и только тогда, когда ее строки (столбцы) линейно зависимы.
  4. Если к строке (столбцу) матрицы прибавить другую строку, (столбец) умноженную на любое число, отличное от нуля, то ранг матрицы не изменится.
  5. Если в матрице зачеркнуть строку (столбец), являющуюся линейной комбинацией других строк (столбцов), то ранг матрицы не изменится.
  6. Ранг матрицы равен максимальному числу ее линейно независимых строк (столбцов).
  7. Максимальное число линейно независимых строк совпадает с максимальным числом линейно независимых столбцов.

  Пример 2 . Найти ранг матрицы .
  Решение. Исходя из определения ранга матрицы, будем искать минор наивысшего порядка, отличный от нуля. Сначала преобразуем матрицу к более простому виду. Для этого первую строку матрицы умножим на (-2) и прибавим ко второй, затем ее же умножим на (-1) и прибавим к третьей.